LA@向量空间@坐标变换

文章目录

• 向量空间

• 向量空间的属性
• 坐标

• 例

• 基变换@坐标变换
• n维向量空间
• 子空间

• 例

• 线性组合与线性方程组
• 生成子空间@深度学习

向量空间

• 设是n维向量的非空集合,如果对向量的加法和数乘运算封闭,即

• 
• 称集合为(n维向量的)向量空间
• 向量空间中设计的是线性运算,因此也称向量空间为线性空间

向量空间的属性

• 设V为向量空间,如果

• 线性无关
• V中的任意向量可以用线性表示,则

• 称是的一组基
• 是V的维数
• 称是维向量空间

坐标

• 如果是V的一组基,任意可以由唯一线性表示,设唯一的表出系数为

• 
• 则称有序数为向量在基下的坐标,记为或
• 关于唯一性:向量组添加一个向量的讨论?

例

• 在中取基:

• 
• 将向量在下的坐标
• 通过解线性方程,解向量就是坐标

• 
• 因此坐标为

基变换@坐标变换

• 在n维向量空间中中,任意n个线性无关的向量都可以构成一个的基
• 对于不同的基,同一个向量的坐标一般因基的不同而不同
• 设n维空间向量的两组基:,,,显然A,B都是可逆方阵(构成基的向量线性无关)

• ,其中;该公式称为基变换公式

• ,
• C也是可逆矩阵(C可以表示为一系列初等矩阵的乘积)

• 称矩阵C为的过渡矩阵,过度矩阵的计算公式:

• 对于任意的向量,在下的坐标设为,在下的坐标设为
• 即

• 
• 代入B=AC
• 
• 可见

• 而在下的表示唯一,所以
• 也可以从具有唯一解的角度理解(方阵A是可逆的,解是唯一的),都是的解,说明

• 也可以作它们被称为基坐标变换公式

n维向量空间

• n维向量全体集合可构成的向量空间V

• 用数学语言描述只有第i个元素不为0的情况。一种可能的方法是使用克罗内克符号，它是一个二元函数，定义为：

• 记表示把零向量的第i个元素改为1后的向量,通常取列向量;它的其他描述方法:
• 

• V的一组基可以是基本向量组
• 含有n个基向量,称为n维向量空间
• 例如

• 的子集

• 从几何的角度看,是空间直角坐标系中平面上的全体向量构成的
• 且可以表示U内的任意向量(是U的一组基)
• 包含2个线性无关向量,因此U的维数为2,记为

• 只含有零向量的集合称为零向量空间

• 它没有基(基包含0个向量),规定其维数为0

子空间

• 设是的一个非空子集,如果也构成向量空间,则称U为的子空间

• 的子空间内的向量维数也是n(否则不构成子集关系)
• {0}和自身都是的子空间,称它们为的平凡子空间,其余子空间称为非平凡子空间

• 注意区分n维向量空间和n维向量空间的子空间,它们的共同点在于元素都是n维的向量

例

• 设矩阵齐次线性方程的解集,证明S是的子空间
• 证明

• 因为至少又零解,所以

• 如果只有零解,那么S是零空间向量,它是的一个(平凡)子空间

• 如果存在非零解,那么S含有无穷多个向量

• 对于任意的,根据线性方程组解的性质,可知

• ,依然是的解,即

• 从而是一个向量空间(S中的元素都是n维向量)
• 又因为显然是的一个子集,所以S是的子空间

线性组合与线性方程组

• 如果A是方阵,其逆矩阵 存在，那么式 肯定对于每一个向量
• 但是，对于一般的方程组而言(A不一定是方阵)，对于向量 b 的某些值，有可能不存在解，或者存在无限多个解两,或者存在唯一解。

• 存在多于一个解(是少2个)但是少于无限多个解(解的数量有限而不是无穷大)的情况是不可能发生的；
• 因为如果 x 和y 都是某方程组的解(，则

• 对于任意,肯定也是的解,因为:
• 

• 为了分析方程有多少个解，我们可以将 A 的列向量看作从 原点（origin）（元素都是零的向量,对于n维向量,可以理解为n维点,例如三维空间原点(0,0,0))出发的不同方向(用的一个列向量来对应表示一个方向)，确定有多少种方法可以到达向量 。

• 设,则,也即是说A可以看成由n个列向量构成的矩阵(用表示第i个方向)

• 解向量 中的每个元素表示应该沿着方向走多的距离为
• 将这些步骤效果叠加:

• 
• 这种操作称为向量组的线性组合(向量用矩阵A的列向量组线性表出,表出系数为向量)

• 其中是向量,是标量

• 而的线性方程组展开

• 是从矩阵乘积的结果(或解向量)的逐个分量的角度描述.
• 

• 其中是矩阵A的第i个行向量(分块),是解向量

生成子空间@深度学习

• 一组向量的 生成子空间（span）是原始向量线性组合后所能抵达的结果的集合。
• 确定 是否有解相当于确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中。

• A向量组的生成子空间被称为 A 的 列空间（column space）或者 A 的 值域（range）。
• 为了使方程 对于任意向量 都存在解，我们要求 A 的列空间构成整个 。

• 这意味者b一定会落在A的列空间

• 如果
• 矩阵 A 的列空间是整个

• 。否则，A 列空间的维数会小于 m。

• 例如，假设 A 是一个 3 × 2 的矩阵。目标 b 是 3 维的，但是 x 只有 2 维。
• 所以无论如何修改二维向量 的值，也只能描绘出

• 仅是方程对每一点都有解的必要条件。这不是一个充分条件，因为有些列向量可能是冗余的。

• 假设有一个
• 那么它的列空间和它的一个列向量作为矩阵时的列空间是一样的。
• 换言之，虽然该矩阵有 2 列，但是它的列空间仍然只是一条线(只能描述某个方向)，不能涵盖整个