树状数组讲解与例题 杭电HDU1166，HDU1556，HDU2689

树状数组的总结

树状数组很巧妙地解决了数列的求和与查找，速度很快。树状数组，它改变数列中某一位，或者求某个区间的和，时间复杂度是O（logN）；效率大为改善。

下面的图片很好的演示了树状数组的存储原理。（图片来自网络）

观察图片，会发现：数组c的每一个元素都管辖着一定范围内的数组a元素的和，比如

C[1]=a[1];

C[2]=a[1]+a[2];

C[3]=a[3];

C[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];等等；

遵循一定的规律，但又说不上来。

想要看懂这个图，还需要明白一个公式。即 lowbit(k)=k&-k  表示的是什么。

这是一个位运算，先说这么算的目的，lowbit(k) 算出来的就是数组c[i] 的管辖范围：例如c[4]管辖4个a数组元素。通过图可以看出，每一个C[i] 都管辖2的倍数个a[i] ，都是1个、2个、4个8个...数组a[i]的和。这就是通过lowbit(i) 算出来的管辖范围。

lowbit(k)的原理如下：

lowbit(k)=k&-k; 计算机存储的都是补码，当然这个位运算也是运算的补码。假设k=6，那么k的二进制00000110 ，-6的原码是10000110，补码是10000110取反加1 ，即11111010。所以lowbit(6) =k&-k =110 & 11111010 =10，这个结果10的十进制就是2。所以c[6]管辖着两个元素，即C[6]=a[6] + a[5];。实际上lowbit(k) 的运算就是为了得到k的二进制从右边数第一次遇到1时的数（比如6的二进制110，lowbit 得到的就是10），也就是求 k能整除几次2，（能整除几次，c[k]就管辖2的几次方个a元素）

推荐一篇关于lowbit(k)的讲解：x&(-x) Lowbit(x)

下面给出代码，对

/***********************树状数组的更新：

void add(int k,int num)//a[k]的值增加num 
{  
    while(k<=n)  //a[k]的上司都要加上num 
    {  
        c[k]+=num;  
        k+=k&-k;   //k累加上lowbit就得到上司的下标 
    }  
}

下面是查询函数

/***********************（查找区间k~1的总和）

int read(int k)//1~k的区间和  
{  
    int sum=0;  
    while(k)  
    {  
        sum+=c[k];  
        k-=k&-k;  //这里是逆序的，所以累减
    }  
    return sum;  
}

上面两种代码类似，一个由小到大找上司去修改上司的数值。

第二个是由大到小找下一个管辖区。

如果要求区间[x,y]的和，那就是 read(y)-read(x-1) ;

下面做一个练习题；

杭电1166

敌兵布阵

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 94760    Accepted Submission(s): 39988

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output

Case 1: 6 33 59

这个题可以直接用树状数组的方法做。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int a[50010];
int c[50020];//树状数组 
int x,y,n;
char s[10];
void add(int k,int y) //c[k]的值增加y
{
	while(k<=n){
		c[k]+=y;
		k+= k&-k;
	}
}
int find(int k) //从k到1的和 
{
	int sum=0;
	while(k){
		sum+=c[k];
		k-= k&-k;
	} 
	return sum;
}
int main() //树状数组解法 
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(int h=1;h<=T;h++)
	{
		memset(c,0,sizeof(c));
		printf("Case %d:\n",h);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			add(i,a[i]);
		} 
		while(scanf("%s",s), strcmp(s,"End")!=0)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(!strcmp(s,"Query"))
				printf("%d\n",find(y)-find(x-1));
			if(!strcmp(s,"Add"))
				add(x,y);
			if(!strcmp(s,"Sub"))
			{
				y=-y; //只需把y变为相反数，就可以完成相减 
				add(x,y);
			}
		}
	}
	return 0;
 }

HDU1556

Color the ball

Time Limit: 9000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 22158    Accepted Submission(s): 10734

Problem Description

N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input

每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。
当N = 0，输入结束。

Output

每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

Sample Input

3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0

Sample Output

1 1 1
3 2 1

Author

8600

Source

HDU 2006-12 Programming Contest  

【解析】：树状数组维护，区间修改，单点查询

【代码】：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[120000],n;
void add(int k,int num)
{
    while(k<=n){
        c[k]+=num;
        k+=k&-k;
    }
}
int read(int k)
{
    int sum=0;
    while(k){
        sum+=c[k];
        k-=k&-k;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    while(cin>>n,n)
    {
        int a[120000],ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            add(a,1);
            add(b+1,-1);
        }
        for(int i=1;i<n;i++)
            cout<<read(i)<<' ';
        cout<<read(n)<<endl;
    }
    return 0;
 }

HDU2689

Sort it

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4737    Accepted Submission(s): 3294

Problem Description

You want to processe a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. Then how many times it need.
For example, 1 2 3 5 4, we only need one operation : swap 5 and 4.

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 1000); the next line contains a permutation of the n integers from 1 to n.

Output

For each case, output the minimum times need to sort it in ascending order on a single line.

Sample Input

3 1 2 3 4 4 3 2 1

Sample Output

0 6

Author

WhereIsHeroFrom

Source

ZJFC 2009-3 Programming Contest

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【解析】：求逆序数。树状数组维护。（冒泡排序也能水过）

【代码】：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[1200],n;
void add(int k,int num)
{
	while(k<=n){
		c[k]+=num;
		k+=k&-k;
	}
}
int read(int k)
{
	int sum=0;
	while(k){
		sum+=c[k];
		k-=k&-k;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	while(cin>>n)
	{
		int a[1200],ans=0;
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
		for(int i=n-1;i>=0;i--)
		{
			ans+=read(a[i]);
			add(a[i],1);
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
 }